☛ ** Cercles et droites

Énoncé

On considère deux points distincts \(\text{A}\) et \(\text{B}\).
Soit \(\mathscr{C}_1\) le cercle de centre \(\text{A}\) et de rayon \(r_1\) (réel strictement positif) et \(\mathscr{C}_2\) le cercle de centre \(\text{B}\)  et de rayon \(r_2\) (réel strictement positif) tels que \(r_2>r_1\) et \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\) se coupent en deux points.
On appelle \(\text{C}\) et \(\text{D}\) les points d'intersection des cercles \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\) .
Démontrer que les droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont perpendiculaires.

Solution

\(\text{C}\in \mathscr{C}_1\) et \(\text{D}\in \mathscr{C}_1\) donc \(\text{CA}=\text{DA}\). 
Ainsi \(\text{A}\) appartient à la médiatrice de \([\text{CD}]\).
De même, \(\text{C}\in \mathscr{C}_2\) et \(\text{D}\in \mathscr{C}_2\) donc \(\text{CB}=\text{DB}\). 
Ainsi \(\text{B}\) appartient à la médiatrice de \([\text{CD}]\).
La médiatrice de \([\text{CD}]\) est donc la droite \((\text{AB})\). 
D'où \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) sont perpendiculaires.